El teorema del binomio es una fórmula para expandir (x+a)n para cualquier número entero positivo n. Si n = 1, 2, 3 y 4, la expansión de (x+a)n es directa. 

(x+a)1= x+a

(x+a)2=x2+2ax +a2

(x+a)3=x3+3ax2+3a2x+a3

(x+a)4=x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4

Como puedes observar cada expresión  (x+a)n  empieza con xny termina con an. Al leer de izquierda a derecha, las potencias de x disminuyen en 1, mientras que las potencias de a incrementan en 1. Además, el número de términos es igual a + 1. Asimismo, el grado de cada monomio en la expresión es igual a n. Como resultado, podemos pensar que la expresión de (x+a)n se verá de la siguiente forma:

(x+a)n= xn +____ axn-1+____ a2xn-2+ . . . +____ an-1x+an

donde los espacios en blancos son los números que hay que determinar. Pero, ¿cómo podemos hacer esto?  

Antes que podamos llenar los espacios en blaco, debemos conocer este símbolo 

donde n es la potencia a la que se está elevando el binomio y k va desde 0 a n. Esto nos ayudará a calcular el factor que acompaña a “x” y “a”. 

Otra herramienta útil para el teorema del binomio es utilizar el triángulo de Pascal.

El triángulo de pascal nos dará los factores que acompañaran a “x” y “a”. Para saber esto contaremos de arriba hacia abajo la potencia que acompaña al binomio.

Uso del teorema del binomio:

Teorema del binomio

El teorema del binomio nos ayuda a calcular de manera más fácil cuando un binomio esta elevado a una potencia mayor a 0. 

Ejemplo: 

Si queremos calcular el coeficiente y8 en la expansión (2y+3)10, podríamos calcular con el teorema del binomio, sin embargo, sería un proceso muy cargado. 

Una manera mas sencilla para determinar un coeficiente específico en una expansión binomial haremos uso de una fórmula. 

donde n es la potencia a la que está elevada el binomio y j es el coeficiente especifico que queremos obtener. 

Escrito por: Suri Melero y Diana Torres